Abstract (Objective) This paper is intended to identify and characterize the specialized knowledge of three mathematics teachers through the analysis of a sequence of activities intended to teach the sum of fractions using Cuisenaire Rulers. (Methodology) A qualitative study using an interpretative paradigm was designed, and an intervention with the teachers was carried out during five sessions. Semi-structured interviews, a sequence of activities and Cuisenaire Rulers presented digitally were used as instruments for information collection. A model of specialized knowledge of the mathematics teacher developed by Carrillo and collaborators was used to characterize knowledge. This model makes it possible to identify the knowledge used by teachers in the field of mathematics, and to organize, classify and characterize it. (Results) The results of the investigation show a predominance of some of the subdomains that make up the model; in particular, a greater influence of knowledge of the topics and characteristics of learning mathematics. (Conclusions) Insights obtained during the investigation show the importance of identifying the knowledge that teachers make use of when thinking about an educational process, since this knowledge could help other teachers to improve or reflect on their teaching and learning practices in mathematics - in this particular case, in the study of fractions.

Resumen (Objetivo) En este trabajo se identifica y caracteriza el conocimiento especializado de tres profesores del área de matemáticas al analizar una secuencia de actividades, cuyo propósito es la enseñanza de la suma de fracciones empleando las Regletas de Cuisenaire. (Metodología) Se optó por un estudio cualitativo bajo un paradigma interpretativo, la intervención con los docentes se realizó durante cinco sesiones. Como instrumentos para la recolección de información se utilizaron entrevistas semiestructuradas, una secuencia de actividades y las Regletas de Cuisenaire en presentación digital. Para realizar la caracterización de los conocimientos se hizo uso del modelo del conocimiento especializado del profesor de matemáticas desarrollado por Carrillo y colaboradores. Tal modelo permite identificar el conocimiento que moviliza el docente de matemáticas en el campo de la enseñanza, así mismo permite organizarlo, clasificarlo y caracterizarlo. (Resultados) Desde los resultados de la investigación se obtuvo un mayor predominio en algunos de los subdominios que conforman el modelo, en particular, se encontró mayor influencia en el conocimiento de los temas y el conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas. (Conclusiones) Finalmente, las reflexiones obtenidas en el estudio muestran la importancia de identificar los conocimientos que movilizan los docentes al momento de pensarse un proceso de instrucción, pues estos podrían ayudar a otros profesores a mejorar o reflexionar sobre sus prácticas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en este caso particular, el estudio de las fracciones.

Resumo (Objetivo) Neste artigo é identificado e caracterizado o conhecimento especializado de três professores de matemática por meio da análise de uma sequência de atividades, cujo objetivo é ensinar a soma de frações usando a Escala Cuisenaire. (Metodologia) Optou-se por um estudo qualitativo sob um paradigma interpretativo; a intervenção com os professores foi realizada durante cinco sessões. Como instrumentos de coleta de informações foram utilizadas entrevistas semiestruturadas, uma sequência de atividades e a Escala Cuisenaire em apresentação digital. Para caracterizar o conhecimento, foi utilizado o modelo de conhecimento especializado do professor de matemática desenvolvido por Carrillo e colaboradores. Tal modelo permite identificar o conhecimento que o professor de matemática mobiliza no campo da educação, assim como permite organizá-lo, classificá-lo e caracterizá-lo. (Resultados) Dos resultados da pesquisa, obteve-se uma maior predominância em alguns dos subdomínios que compõem o modelo, em particular, uma maior influência foi encontrada no conhecimento dos tópicos e no conhecimento das características da aprendizagem da matemática. (Conclusões) Finalmente, as reflexões obtidas no estudo mostram a importância de identificar os conhecimentos que os professores mobilizam ao pensar em um processo instrucional, pois podem ajudar outros professores a melhorar ou refletir sobre suas práticas de ensino e aprendizagem da matemática, neste caso particular, o estudo das frações.

Abstract: In Mexican’s Calculus curriculum of High School level, the derivative concept is commonly shown to the students as a tangent line to the curve and later it is provided its analytical treatment. That reduces its understood to the memorization of algebraic expressions and algorithmic calculations, which don’t leads to the concept of physical phenomena that present variations and chang-es, as well as thinking that the derivative is only an indeterminate limit. Within the Mathematics Education research, the concept of derivative has been studied for its importance in mathematics and the difficulty observed in its teaching and learning. These inquiry already provide enough information to teachers to use and design activities around the concept based on research results. In this article, a didactic sequence is presented whose objective is to introduce the concept of derivative through to a phenomenon that presents variations and changes, which also allows the coordination between representation in high school students who have a first approach to this concept.

Resumen: En México, en el curriculum de Cálculo de nivel medio superior, el concepto de derivada se muestra normalmente a los estudiantes como una recta tangente a la curva y, posteriormente, se proporciona su tratamiento analítico. Esto genera que la comprensión de dicho concepto se reduzca a la memorización de expresiones algebraicas y cálculos algorítmicos, lo que con-lleva a no relacionarlo con fenómenos físicos que presentan variaciones y cambios, así como pensar que la derivada es únicamente un límite indeterminado. Dentro de las investigaciones en Matemática Educativa, el concepto de derivada ha sido ampliamente estudiado por su importancia dentro de la matemática y la dificultad que se observa en su enseñanza y su aprendizaje. Estas investigaciones aportan información suficiente a profesores para utilizar y diseñar actividades en torno al concepto, apoyándose en los resultados de investigación. En este artículo se presenta una secuencia didáctica cuyo objetivo es introducir el concepto de derivada a través de un fenómeno que presenta variaciones y cambios, buscando, además, la coordinación entre los registros de representación en estudiantes de bachillerato que tienen un primer acercamiento a este concepto.

Abstract The teacher plays a crucial role in articulating Mathematical Working Spaces. The model of teacher knowledge, which is presented here (referred Mathematics Teacher's Specialized Knowledge), proposes a structuring of such knowledge based on the concept of 'specialization'. This organization, particularly considering its components (sub-domains), provides insight into the knowledge that the teacher brings into play in the transition between different (appropriate, personal, and reference) Mathematical Working Spaces, and the relationships between them.

Resumen El profesor desempeña un papel crucial en la articulación de los Espacios de Trabajo Matemático. El modelo de conocimiento del profesor que aquí se presenta (denominado Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge) propone una estructuración de dicho conocimiento basada en la noción de ‘especialización’. Esta estructuración, particularmente la consideración de sus componentes (subdominios), permite comprender el conocimiento que el profesor pone en juego en la transición entre los distintos Espacios (idóneo, personal y de referencia) de Trabajo Matemático, así como las relaciones entre estos.

Abstract: This paper examines the kind of mathematical knowledge, which lies behind the use of examples and provision of support for students by two Baccalaureate (16-18) teachers in Spain. The methodological approach is that of a qualitative instrumental case study within an interpretative paradigm. Analysis is carried out through the Mathematics Teacher's Specialised Knowledge model, with particular focus on one of the sub-domains of pedagogical content knowledge, Knowledge of Mathematics Teaching. The detailed consideration of the types of examples used and their particular features sheds light on the teachers' awareness of the potential these have in the educational context. At the same time, the use of various scaffolding techniques on the part of the teachers points to knowledge about the variety of learner support available and how this focuses on specific aspects.

Resumen: Este artículo muestra evidencias del conocimiento exhibido por dos profesoras de bachillerato en España en relación con el uso de ejemplos y ayudas en la clase de álgebra lineal. Se trata de un estudio de caso instrumental cualitativo enfocado desde un paradigma interpretativo. Utilizamos el modelo Mathematics Teacher's Specialised Knowledge para analizar el conocimiento de las profesoras, centrándonos particularmente en uno de los subdominios del conocimiento didáctico del contenido, el Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas. A partir de la observación de las cualidades y tipos de ejemplos empleados por las profesoras, los resultados dan cuenta del conocimiento de estas acerca de la potencialidad y el uso didáctico de los ejemplos. Análogamente, el uso de diversas técnicas de andamiaje permite identificar conocimiento de las profesoras sobre la diversificación y focalización de las ayudas.