Abstract: This article reports on an investigation focused on exploring which conceptualizations of slope are pormoted in the Colombian intended mathematics curriculum. The Content Analysis method was used through which two curricular documents were examined: The Basic Standards of Competence in Mathematics and The Basic Learning Rights in Mathematics. As a reference framework, the slope conceptualizations identified by Stump (1999) and Moore-Russo et al. (2011) were used. The results indicate that in primary school functional property and real-world situation conceptualizations are emphasized, in secondary school those of the parametric coefficient and behavior indicator, in high school functional property, real world situation and the conception in calculus. The Colombian curriculum has a marked tendency towards the development of variational thinking. This work provides information about how the teaching of slope is expected in Colombia, results that are compared with what the North American and Mexican curricula provide in this regard, the results can be useful in curricular reforms to anticipate unwanted consequences in learning of this concept.

Resumen: Este artículo da cuenta de una investigación enfocada en explorar qué conceptualizaciones de la pendiente se promueven en el currículum colombiano de matemáticas. Se utilizó el método de Análisis de Contenido a través del cual se examinaron dos documentos curriculares: Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas y Los Derechos Básicos de Aprendizajes en Matemáticas. Como marco referencial se utilizaron las conceptualizaciones de la pendiente identificadas por Stump (1999) y Moore-Russo et al. (2011). Los resultados indican que en la primaria se enfatizan las conceptualizaciones propiedad funcional y situación del mundo real, en secundaria las del coeficiente paramétrico e indicador de comportamiento, en bachillerato la propiedad funcional, situación del mundo real y la concepción en cálculo. El currículum colombiano tiene una tendencia marcada hacia el desarrollo del pensamiento variacional. Este trabajo aporta información acerca de cómo se prevé la enseñanza de la pendiente en Colombia, resultados que son comparados con lo que prevén al respecto el currículum norteamericano y mexicano, los resultados pueden ser útiles en las reformas curriculares para prever consecuencias no deseadas en el aprendizaje de este concepto.

Abstract: In this paper we present a strategy for the study of the teaching meanings that teachers have regarding the concept of slope. It consists of three stages: the elaboration of empirical instruments for the collection of information, the implementation of the instruments, and the analysis of the information collected to identify, classify and evaluate the teachers’ meanings. This strategy explores the coherence between what the teacher intends to convey, what he imagines he conveys, and what his interlocutor (the student) conceives to be conveyed. In order to analyze the structural and functional quality of the instrumental component of the strategy, a study of its evaluation before a panel of experts is presented. The results are processed with the help of a technique for the representation of the ordering by similarity to the ideal solution (TOPSIS), based on fuzzy data.

Resumen: En este trabajo se presenta una estrategia para el estudio de los significados para la enseñanza que poseen los profesores sobre el concepto de pendiente. La misma está conformada por tres etapas: la elaboración de los instrumentos empíricos para la captura de información, la aplicación de los instrumentos, y el análisis de la información recolectada para identificar, clasificar y valorar los significados. Esta estrategia explora la coherencia entre lo que el profesor intenta transmitir, lo que imagina que transmite, y lo que su interlocutor (el estudiante) concibe que se transmite. Con el fin de analizar la calidad estructural y funcional del componente instrumental de la estrategia, se presenta un estudio de su evaluación ante un panel de expertos. Los resultados se procesan con ayuda de una técnica para la representación del ordenamiento por similitud, respecto a la solución ideal (TOPSIS), basada en datos difusos.

Abstract This paper reports the results of an investigation whose objective is to find which slope conceptualizations have a presence in high school mathematics textbooks and which are the predominant ones. For this, we used the Content Analysis method, where the objects of analysis are found in content exposition, worked examples, and in the exercises or problems proposed in the textbooks. As a reference framework we used the eleven slope conceptualizations identified by Stump (1999) and Moore-Russo, Conner and Rugg (2011). Our findings indicate the presence of most of the conceptualizations identified in the previous research, however, there is a notable predominance of those that emerge from the analytical definition of slope, such as the parametric coefficient, algebraic ratio, and trigonometric conception and its internal application in determination of parallelism or perpendicularity between lines as is the determining property. These conceptualizations, on the one hand, induce to formation of the idea that slope makes sense only in intra-mathematical context, and on the other hand, they favor the development of procedural knowledge on detriment of conceptual knowledge. Understanding the slope requires the creation of internal networks as a product of connections between conceptualizations intra and extra mathematical plane, in addition to the harmonious development of conceptual and procedural knowledge. Achieving the understanding of the concepts is essential for Mathematics Education, however, our results indicate that the texts used by teachers can hardly contribute to this achievement.

Resumen En este artículo se reportan los resultados de una investigación que tiene por objetivo explorar qué conceptualizaciones de pendiente tienen presencia en los libros de texto de matemáticas del bachillerato y cuáles predominan. Para ello utilizamos el método de Análisis de Contenido, en donde los objetos de análisis se encuentran en la exposición del contenido, ejemplos resueltos y los ejercicios o problemas propuestos en los libros de texto. Como marco referencial utilizamos las once conceptualizaciones de pendiente identificadas por Stump (1999) y Moore-Russo, Conner y Rugg (2011). Nuestros hallazgos indican la presencia de la mayoría de las conceptualizaciones, con predominio de aquellas que se desprenden de la definición analítica de pendiente como coeficiente paramétrico, razón algebraica y concepción trigonométrica y la que se aplica dentro de la misma geometría en la determinación del paralelismo o perpendicularidad entre rectas, como lo es la propiedad determinante. Estas conceptualizaciones, por un lado, inducen a la formación de la idea de que la pendiente tiene sentido sólo en el contexto intramatemático, y por otro lado, privilegian el desarrollo del conocimiento procedimental en detrimento del conocimiento conceptual. La comprensión de la pendiente requiere de la formación de redes internas como producto de conexiones entre conceptualizaciones en el plano intra y extra matemático, además del desarrollo armónico del conocimiento conceptual y el procedimental. Lograr la comprensión de los conceptos es fundamental en la Educación Matemática, sin embargo, nuestros resultados indican que los textos que utilizan los profesores difícilmente pueden contribuir a este logro.

Abstract This article reports an investigation that explored Slope's conceptualizations in 21 university students. The data was collected with a Task-Based Interview and for its data analysis it focused on the identification of key phrases and procedures that referred to any of the eleven conceptualizations reported on the slope concept. The students evidenced from one to eight conceptualizations, among which were identified: Physical Property, Algebraic Ratio, Determining Property, Linear Constant, Parametric Coefficient, Geometric Ratio, Behavior Indicator, and Real-World Situation (Physical situation).

Resumen Este escrito reporta las conceptualizaciones de la pendiente de 21 estudiantes universitarios. Para la recolección de datos se utilizó una entrevista basada en tareas y para su análisis se identificaron las frases y procedimientos claves relacionados con las once conceptualizaciones reportadas por investigadores en educación matemática sobre el concepto de pendiente. Los estudiantes evidenciaron de una a ocho conceptualizaciones, entre las cuales se identificaron: Propiedad Física, Razón Algebraica, Propiedad Determinante, Constante Lineal, Coeficiente Paramétrico, Razón Geométrica, Indicador de Comportamiento y Situación Mundo Real (Situación Física).

Abstract This paper reported a research which aims to identify connections that a university student group established to solve problems in a context. These problems can be solved using the relationship between the derivative and integral established in the Fundamental Theorem of Calculus. To identify such connections, we adopted the theoretical framework proposed by Businskas (2008). As a research method, we used the case study and applied a questionnaire which included five problems, the solutions of which we obtained the data. The data indicate that students establish extra-mathematics and intra-mathematics connections when they solve problems in a context, but mainly used the procedural type and the different representations. We also noticed a strong connection with their prior knowledge learned in previous levels of education rather than at the university level.

Resumen En el presente artículo se reporta una investigación cuyo objetivo fue identificar las conexiones que un grupo de estudiantes universitarios establecen al resolver problemas en contexto. Estos problemas pueden resolverse utilizando la relación entre la derivada y la integral establecida en el Teorema Fundamental del Cálculo. Para identificar las conexiones adoptamos el marco teórico que al respecto plantea Businskas (2008). Como método de investigación utilizamos el estudio de casos y aplicamos un cuestionario integrado por cinco problemas, de cuyas soluciones obtuvimos los datos. Los datos indican que los estudiantes establecen conexiones extramatemáticas e intramatemáticas al resolver problemas en contexto, pero principalmente utilizan las de tipo procedimental y las representaciones diferentes, además notamos una fuerte conexión con sus conocimientos previos aprendidos en los niveles de educación precedentes al nivel superior.

Abstract: This article reports one research conducted with the aim of studying the stability and conceptual change about some rates of change in high school students. For this purpose, a learning sequence was designed, implemented, and evaluated, in an upper secondary education school. A pre-post assessment was used to evaluate the results of the study. The students’ conceptions were compared. Changes entail transiting from interpreting speed in a distance-time graph as “a point” or as “a magnitude of the distance” to the geometrical conception of “vertical displacement” with respect to “horizontal displacement”; from being fixed by the formula v = d/t to the use of the difference quotient v = Δs/Δt. Stability was noted in the conception associated with the ordinates of greater magnitude of a graphical time-height, as they represent the “faster growth”.

Resumen: Este artículo da cuenta de una investigación cuyo objetivo se centró en estudiar la estabilidad y el cambio conceptual acerca de algunas razones de cambio en estudiantes de bachillerato. Para ello se diseñó, aplicó y valoró, una secuencia de aprendizaje que tuvo como escenario el salón de clase de una escuela de bachillerato tecnológico. Los resultados fueron valorados mediante una evaluación pre-post test, a través de la cual fueron contrastadas las ideas previas con las ideas manifestadas al final de la aplicación de la secuencia de aprendizaje. Los cambios conceptuales van, de interpretar a la velocidad en una gráfica distancia-tiempo “como punto” o como “magnitud de la distancia” a la concepción geométrica del “desplazamiento vertical” respecto del “desplazamiento horizontal”; de la fijación por la fórmula v = d/t a la utilización del cociente de diferencias v = Δs/Δt. Se notó estabilidad en la concepción que asocia a las ordenadas de mayor magnitud de una gráfica tiempo-estatura, como las que representan la “mayor rapidez de crecimiento”.

This article reports on research conducted with the aim of studying the ability of interpretation of graphs kinematics. To achieve the objective, we use the method of action research, on the basis of which it was designed, implemented and evaluated, a sequence of learning oriented approach under the development of thinking and variational language. The actions for the interpretation of graphs studied were of two types: local and global. The first focused on extracting specific data speed and acceleration, the latter refers to the overall behavior of the graphs of these functions and their relationships with each other. The results were assessed by pre-post method, comparing their performances at the beginning and end of the application of the learning sequence. The results indicate that the students are able to interpret the local properties of graphs not its global properties, furthermore the preference of students was noted for using formulas functions or their derivatives rather than the variational information underlying in graphs to interpret their behavior.

Este artículo da cuenta de una investigación realizada con el objetivo de estudiar la habilidad de interpretación de gráficas cinemáticas. Para alcanzarlo se utilizó el método de investigación-acción, sobre la base del cual, se diseñó, aplicó y evaluó, una secuencia de aprendizaje orientada por el enfoque del desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Las acciones de interpretación de gráficas estudiadas fueron de dos tipos: locales y globales. Las primeras se centraron en la extracción de datos específicos de velocidad y aceleración, las segundas se refieren al comportamiento global de las gráficas de tales funciones y sus relaciones entre sí. Los resultados obtenidos fueron valorados mediante el método pre-post test, comparando sus interpretaciones al inicio y al final de la aplicación de la secuencia de aprendizaje. Los resultados indican que los estudiantes son capaces de interpretar las propiedades locales de las gráficas, no así de sus propiedades globales, además se notó la preferencia de los estudiantes por utilizar las fórmulas de las funciones o de sus derivadas en lugar de la información variacional subyacente en las gráficas.