Resumen En este trabajo se tuvo como objetivo analizar las competencias de futuros profesores de pedagogía en enseñanza media en matemáticas, al hacer transformaciones de las representaciones de una función. La información se recogió en el segundo semestre de 2019 y se procesó utilizando la técnica análisis de contenido. Es un trabajo cualitativo, donde se interactuó con docentes en formación, mientras resolvían situaciones problema que involucraban funciones y preparaban una clase, que luego simulaban ante su grupo de clase y su docente. La muestra la constituyeron 36 sujetos estudiantes del profesorado en matemáticas de una universidad chilena. Los resultados muestran que lograron producir múltiples formas de representación de las relaciones funcionales analizadas, lo que facilitaba el análisis y establecimiento de conexiones con elementos del contexto sociocultural, pero una parte del grupo presentó dificultades con la fluidez perceptual, lo que impidió establecer conexiones entre ellas. Fueron modificando los significados parciales de la función, articuladamente, hasta ubicarse en uno de ellos, desde donde produjeron y articularon sus múltiples representaciones. Se concluye sobre la necesidad de implementar procesos de intervención que lleven a los futuros profesores a hacer análisis más integrales de las funciones, que le faciliten hacer un uso operativo de sus conocimientos, para minimizar las dificultades de aprendizaje en sus estudiantes.

Resumo Este trabalho teve como objetivo analisar as competências de futuros professores de pedagogia no ensino médio em matemática, ao fazer transformações das representações de uma função. A informação foi coletada no segundo semestre de 2019 e processada com o uso do método de análise de conteúdo. É um trabalho qualitativo, no qual houve uma interação com docentes em formação, enquanto resolviam situações problema que envolviam funções e preparavam uma aula, que logo simulavam diante de seu grupo da sala e de seu docente. A amostra esteve composta de 36 sujeitos estudantes da faculdade de matemática de uma universidade chilena, com os quais interagiram na preparação e na simulação de uma aula sobre a noção função. Os resultados mostram que conseguiram produzir múltiplas formas de representação das relações funcionais analisadas, o que facilitava a análise e o estabelecimento de conexões com elementos do contexto sociocultural, porém uma parte do grupo apresentou dificuldades com a fluidez perceptual, impedindo estabelecer conexões entre elas. Foram modificando os significados parciais da função, articuladamente, até localizar-se em um deles, desde onde produziram e articularam suas múltiplas representações. Conclui-se sobre a necessidade de implementar processos de intervenção que guie os futuros professores a fazer análises mais integrais das funções, o que facilita fazer um uso operativo de seus conhecimentos e, assim, minimizar as dificuldades de aprendizagem em seus estudantes.

Abstract This paper aimed to analyze the competencies of pre-service secondary school mathematics teachers when transforming the representations of a function. The information was collected during the second half of 2019 and was processed using the content analysis technique. For this qualitative study, researchers interacted with pre-service teachers while they solved problems involving functions and prepared a class that they later simulated before their professor and classmates. The sample included 36 students from the Mathematics Education Program of a Chilean university. Results show that pre-service teachers were able to produce multiple ways of representations of the analyzed functional relationships, which facilitated the analysis and establishment of connections with sociocultural elements. However, some participants faced difficulties with perceptual fluency, which prevented them from establishing connections. The partial meanings of the functions were articulately modified until they became one, in which time multiple representations were produced and articulated. In conclusion, interventional processes should be implemented to help future teachers make more comprehensive analyzes of functions and have an operational use of their knowledge, in order to minimize learning difficulties in students.

Abstract: This article reports the results of a work carried out with 38 students from a Colombian public educational institution, in which the development of their elementary algebraic reasoning was analyzed, using numerical or geo-metric patterns and sequences. The work was carried out in three phases: diagnostic, interventional and contrast, in addition, during the development of each test, interviews were carried out based on the tasks that the students solved. The results show that the initial solutions addressed a heuristic: identifying a recursive rule, which they used to find a missing term, the one they expressed in numerical, natural or iconic language, using extensive objects and arithmetic processes. The implementation of the proposal allowed the students a progressive increase in heuristic power in problem solving, giving varied and rich solutions to the activities that were presented to them, and some managed to generalize patterns using natural or symbolic-literal language. It can be concluded that the mathematical activity of most of the students is located between levels zero to two of algebrization, standing out, levels one and proto-algebraic of level two, solving problems of missing values, without modifying the expressions algebraic produced.

Resumen: En este artículo se reportan los resultados de un trabajo realizado con 38 estudiantes de una institución educativa pública colombiana, en los que se analizó el desarrollo de su razonamiento algebraico elemental, usando patrones y secuencias numéricas o geométricas. El trabajo se desarrolló en tres fases: diagnóstica, interventiva y de contraste, además, durante el desarrollo de cada prueba se hicieron entrevistas basadas en las tareas que resolvían los estudiantes. Los resultados muestran que las soluciones iniciales atendían una heurística: identificar una regla recursiva, que utilizaban para encontrar un término faltante, la que expresaban en lenguaje numérico, natural o icónico, utilizando objetos extensivos y procesos aritméticos. La implementación de la propuesta, permitió en los estudiantes, un aumento progresivo del poder heurístico en la resolución de problemas, dando variadas y ricas soluciones a las actividades que se les plantearon. Algunos lograron generalizar patrones utilizando lenguaje natural o simbólico-literal. Se puede concluir que la actividad matemática de la mayoría de los estudiantes se ubica entre los niveles cero al dos de algebrización, destacándose, los niveles uno y el proto-algebraicos de nivel dos, solucionando problemas de valores faltantes, sin llegar a modificar las expresiones algebraicas producidas.

ABSTRACT: A work with 176 students, 30 teachers and 16 parents from three official educational institutions of a Colombian population that hosted the peace dialogues that ended the conflict with a guerrilla group is reported. For the information processing, a multiple correspondence analysis was made with Pearson's Chi square as a test coefficient, and focus groups were also made with members of each estate. The results show that the process of implementation of the chair of peace in educational institutions has been slow, with some difficulties, delayed in its implementation of more than two years, and lack of training and accompaniment, by the entities territorial, to the communities of educational institutions. But despite the difficulties within the school context, the culture of dialogue is encouraged to resolve conflicts that arise, and with teachers as mediators in the process. The school activity takes place in a climate of respect and mutual support between managers, teachers, students and parents.

RESUMEN: Se reporta un trabajo realizado con 176 estudiantes, 30 profesores y 16 padres de familia de tres instituciones educativas oficiales de una población colombiana que fue sede de los diálogos de paz que pusieron fin al conflicto con un grupo guerrillero. Se estudiaron tópicos relacionados con la implementación de la cátedra de la paz y se analizó el grado de acuerdo entre ellos respecto a estos tópicos. Para el procesamiento de la información se hizo un análisis de correspondencias múltiples con el Chi cuadrado de Pearson como coeficiente de prueba, y además, se hicieron grupos focales con miembros de cada estamento. Los resultados muestran que el proceso de implementación de la cátedra de la paz en las instituciones educativas, ha sido lento, con algunas dificultades, con retraso en su implementación de más de dos años, y falta de capacitación y acompañamiento, por parte de las entidades territoriales, a las comunidades de las instituciones educativas. Pero a pesar de las dificultades dentro del contexto escolar se fomenta la cultura del diálogo para resolver los conflictos que se presentan, y con los profesores como mediadores en el proceso. La actividad escolar se da en un clima de respeto y apoyo mutuo entre directivos, docentes, estudiantes y padres de familia.

Abstract We report here the findings of a work done with fifty preservice teachers, students of mathematics from a Colombian public university. From a follow-up on the progress of students to teachers, we analyzed their difficulties in class development with high school students. The results show ease for the preservice teachers in the recognition of the elements and characteristics of a function, but certain difficulties to connect the elements of their representations. On the one hand, they used didactic materials and adequate semiotic representations, and on the other, they made few congruences between these elements and did not establish connections with elements of the sociocultural context that would allow an in-depth topic analysis. Regarding their knowledge, certain strengths are evidenced in their common and extended knowledge, but there are some difficulties in specialized content knowledge.

Resumen Se reportan los hallazgos de un trabajo realizado con cincuenta futuros profesores de licenciatura en matemática de una universidad pública colombiana. A partir de un seguimiento en su progreso de estudiantes a profesores, se analizaron sus dificultades en el desarrollo de clases con estudiantes de enseñanza media. Los resultados evidencian cierta facilidad en los futuros profesores en el reconocimiento de los elementos y las características de una función, pero algunas dificultades para conectar sus representaciones. Por una parte, utilizaron materiales didácticos y representaciones semióticas adecuadas, y por otra, realizaron pocas congruencias entre elementos de éstas y no establecieron conexiones con elementos del contexto sociocultural que les permitiera un análisis a profundidad del tema. Con relación a sus conocimientos, se evidencian ciertas fortalezas en su conocimiento común y ampliado, pero algunas dificultades en el conocimiento especializado del contenido.

Abstract: In this paper the mathematical dimension of the Didactical-Mathematical Knowledge of the future teachers of mathematics is analyzed when they transform the representations of a function. A questionnaire was applied to 90 future teachers who were distributed in three groups. The homogeneity of the answers per group is analyzed, and the primary mathematical objects and the present process in the mathematics practices they develop trough their answers are characterized. The results show serious difficulties of the future teachers with some function topics, such as: indetifying and using their intercepts without a graphical support; analyzing their extreme values and growth ranges; making a mathematical model or a graphical draft; indetifying the slope of a linear function. The primary mathematical objects and present processes in the practices that the prospective teachers develop are very similar, in spite of the difference in the number of hours od instruction in each of three gropus.

Resumen: En este trabajo se evalúa la dimensión matemática del Conocimiento Didáctico-Matemático de futuros profesores de matemáticas, al hacer transformaciones de las representaciones de una función. Se aplicó un cuestionario a 90 profesores en formación repartidos en tres grupos; fue analizada la homogeneidad de las respuestas por grupos, y se caracterizaron los objetos matemáticos primarios y procesos presentes en las prácticas matemáticas que desarrollan los profesores en formación al resolver el cuestionario. Los resultados evidencian serias dificultades de los mismos para identificar y usar los interceptos de una función sin ayuda gráfica; analizar sus valores extremos y sus intervalos de crecimiento; modelarla matemáticamente e identificar la pendiente de una función lineal. Los objetos matemáticos primarios y procesos presentes en las prácticas que desarrollan los estudiantes al hacer transformaciones de las representaciones de las funciones involucradas en la situación son muy similares, a pesar de la diferencia en horas desarrolladas en el programa en cada uno de los tres niveles.